4. Simuler la cycloïde et l'astroïde

Manipulation 4.6 : Ajoutez à la classe MathShape les méthodes :

• PtVec getTangent(double t) qui retourne un vecteur tangent à la fonction génératrice f au point t. Approximez la tangente avec f(t+Δt)-f(t) en utilisant le même Δt comme à la manipulation 4.4.
• void drawTangent(double t) qui dessine la tangente au point donné par t. Cette méthode peut aider à déboguer la suite de l'étape.

Conseil : Le vecteur tangent retourne par getTangent(t) doit correspondre au point retourné par computePoint(t). Alors il faut que getTangent() respecte l'orientation de la forme!

Manipulation 4.7 : Ecrivez une méthode alignWithTangentAt() qui déplace et tourne la forme (utilisez les méthodes move()/moveTo() et rotate()/setAngle()) pour que la tangente et le point donnée par le paramètre t coïncident avec le point et la tangente passé comme argument. Utilisez le prototype suivant :

void alignWithTangentAt(PtVec dst_pt, PtVec dst_tangVec, double t)

Conseil : Utilisez la fonction getTangent(t) et computePoint(t) pour calculer le point et la tangente à partir du paramètre t.

Manipulation 4.8 : La classe MathShape est maintenant complète et fournit tous ce qui est nécessaire pour implémenter la fonction principale roll(). Cette fonction parcourt la trajectoire par petits pas en "roulant" l'objet. Ceci nous permet de simuler la cycloïde et l'astroïde.

Ecrivez la fonction en traduisant le pseudo-code suivant : (=cette fonction n'appartient à aucune classe!)

void roll(MathShape &traj, MathShape &obj, int steps)
{
  déterminer le domaine de définition de la trajectoire
  déterminer le domaine de définition de l'objet
    
  initialiser les paramètres t pour la trajectoire et l'objet
  
  dessiner la trajectoire
  
  calculer le premier point de la trajectoire
  
  répéter pour chaque pas
    déterminer la tangente au point courant de la trajectoire
    aligner l'objet avec la trajectoire
  
    dessiner l'objet (ou seulement un point de l'objet)
  
    augmenter le paramètre t de la trajectoire d'une quantité
        correspondant d'un pas.
    calculer le prochain point sur la trajectoire
    calculer la distance entre le point courant et le prochain
        point de la trajectoire
    
    calculer le nouveau paramètre t de l'objet qui correspond au
        déplacement sur le contour de la fonction génératrice
        (fonction advance())
  
    (optionnel: faire une petite pause en utilisant usleep())
    
    le prochain point de la trajectoire devient le point courant
  fin de répétition
}

Manipulation 4.9 : Testez votre implémentation en faisant rouler un cercle de rayon 1 sur un segment de droite (=cycloïde) et ensuite sur un cercle de rayon 4 (=astroïde). Utilisez la classe LineSegment comme segment de droite :

class LineSegment : public MathShape
{
protected:
    PtVec point, vec;
    
    PtVec f(double t) { return point + (vec*t); }
    
public:
    LineSegment(double p1_x, double p1_y,
                double p2_x, double p2_y) :
        MathShape(0, 1),        // Parameter between 0..1
        point(p1_x, p1_y),
        vec(p2_x-p1_x, p2_y-p1_y) {}
    
    virtual ~LineSegment() {}
    
    // Draw using only 1 line (=no subdivision)
    void draw() { MathShape::draw(1); }
};


Comparez le résultat avec les fonctions paramétriques Cycloid et Astroid de l'exercice précédent.

Question 4.2 : Pourquoi est-il impossible de laisser rouler le petit cercle de l'astroïde à l'extérieur du cercle trajectoire?